Der Menger-Schwamm: Ein dreidimensionales Fraktal mit erstaunlichen Eigenschaften
Von Fraktalen geht immer eine große Faszination aus. Dabei sind die geometrischen Muster längst nicht nur mathematische Spielerei, sondern auch beliebte Modelle, wenn es um die Erforschung von Materie und ihre Struktur geht. Der Menger-Schwamm ist in diesem Zusammenhang ein besonderes 3D-Fraktal.
Beim Menger-Schwamm handelt es sich um ein dreidimensionales Fraktal, das sich wie folgt aufbaut: Bei einem Würfel werden dessen Seiten in jeweils drei Teile unterteilt, sodass 27 kleinere Würfel entstehen. Auf allen Seiten wird stets der mittlere Würfel sowie der ganz zentrale Würfel entnommen. Von 27 Würfeln werden 7 entfernt, sodass 20 Würfel übrigbleiben. Indem mit allen entstehenden kleineren Würfeln wieder so verfahren wird, setzt sich diese Iteration ins Unendliche fort.
Der Menger-Schwamm ist dabei das dreidimensionale Pendant zum zweidimensionalen Sierpinski-Teppich. Beim Sierpinski-Teppich handelt es sich lediglich um ein Quadrat, bei dem das mittlere von neun Quadraten entnommen wird. Auch hier wird die Dreiteilung und Entfernung der mittleren Quadrate ins Unendliche fortgesetzt.
Besonderheiten des Menger-Schwamms
Der Menger-Schwamm hat einige besondere Eigenschaften. Beispielsweise ist er mathematisch betrachtet weder zwei-, noch dreidimensional, sondern verfügt über eine fraktale Dimension von ungefähr 2,726833. Demnach ist er mehr als zweidimensional, aber weniger als dreidimensional.
Die Merkmale des Menger-Schwamms zeigen, dass fraktale Geometrien zuweilen paradoxe Eigenschaften haben und mathematisch komplex sind.
Anwendungsfelder des Menger-Schwamms
Menger-Schwamm und Sierpinski-Teppich sind nicht nur von theoretischem, sondern auch von praktischem Interesse. Der Menger-Schwamm ist ein dreidimensionaler Würfel, der aus einem selbstähnlichen, fraktalen Bereich und einem nicht fraktalen Bereich besteht, die beide kontinuierlich sind. Darum ist er ein nützliches heuristisches Modell für natürliche und künstliche fraktale Systeme.
In einer Studie entwickelten Forscher ein Modell für den Porenraum von Gesteinen. Sie wollten zeigen, wie die petrophysikalischen Eigenschaften durch eine Veränderung der Parameter beeinflusst werden können. Je nachdem, in welcher Größe man die Textur und die Öffnungen plant, hat das Auswirkungen auf Festigkeit, Volumen und Oberfläche der Gesteinsstruktur.
Der Menger-Schwamm kann ebenso der Berechnung von anderen Porenmaterialien, Polymeren und Geweben zugrunde gelegt werden. Dabei ist es sogar möglich, physikalische Eigenschaften wie Wärmeleitfähigkeit und elektrische Leitfähigkeit zu kalkulieren.
Auch im Bereich der theoretischen Physik kommt der Menger-Schwamm modellhaft um Einsatz. Gegenwärtig werden dreidimensionale Fraktale als Orte diskutiert, in denen Physik überhaupt erst stattfinden kann. So versuchten etwa österreichische Forscher zu zeigen, dass sich das Hinzufügen oder Ausdünnen solcher Fraktale auf die (hypothetische) Antigravitation auswirkt.
Fraktale können einzigartige mathematische und geometrische Eigenschaften haben. Der Menger-Schwamm schafft durch seine heuristische Anwendbarkeit einen Mehrwert im Bereich der Materialwissenschaften und der theoretischen Physik.
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Quellen:
Korvin, G. (2024). Menger Sponge Models. In: Statistical Rock Physics. Earth and Environmental Sciences Library. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-031-46700-4_5
Svozil, K. (2024). ‘Anti-Gravity’ inside a Menger Sponge. https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.15789
Van Siclen, C. D. (2023). Transport properties of the Menger sponge. https://doi.org/10.48550/arXiv.2304.07635